烧结过程的相场模拟(2)

本工作中陶瓷粉末烧结过程的相场模型所采用的体系总的自由能F为：

式中，f为体自由能密度函数；为界面梯度自由能，分别表示气孔表面和晶界处产生的额外的自由能；κρ和κη为参数，取决于材料界面的具体的物理参数；r为空间坐标。

本工作采用的f表达形式为[23]：

式中，A 和B 为与材料物理参数有关的参数。该形式的f 能够保证在各个晶粒的内部和气孔内部取得极小值，因而共有(p+1)个极小值。上述形式的自由能函数中各常数与材料的物理参数之间的关系如下[29]：

式中，γgb和γs分别代表材料的晶界能和表面能；δ 代表扩散界面的宽度。

1.3 相场演化的动力学方程

上述相场模型中ρ 的演化动力学方程为Cahn‐Hilliard扩散方程[30]：

式中，t为时间；M为化学迁移率张量。

M与扩散系数张量D的关系如下[29]：

式中，νm表示摩尔体积；R 表示气体常数；T 表示温度。

由于体系中的扩散机制包括表面扩散、晶界扩散和体扩散。因此，可以认为D=Ds+Dgb+Dl，其中，Ds、Dgb、Dl分别为表面扩散系数张量、晶界扩散系数张量、晶格扩散系数张量，表达形式分别如下[29]：

式中，Ds是表面扩散系数标量，对于UO2，Ds=50×exp(-/(RT))[31]；Ts是表面投影张量，保证表面扩散仅发生在晶粒与气孔接触表面的切线方向；I为单位张量；ns为表面单位法向量。

式中，Dgb是晶界扩散系数标量，对于UO2，Dgb=1.38×10-6×exp(-/(RT))[32]；Tgb是晶界投影张量，可以保证晶界扩散仅发生在晶界的切线方向；ngb为晶界单位法向量。

式中，Dl是晶格扩散系数标量；ξ(ρ)为插值函数，可以保证晶格扩散发生在固相晶粒的内部和表面。

ηi的演化方程为Allen‐Cahn方程[30]：

式中，L 是Allen‐Cahn 迁移系数，L 与材料具体物理参数的关系如下[33]：

式中，Mb为晶界迁移率；Da为原子扩散系数。

通过联立求解Cahn‐Hilliard 扩散方程和Allen‐Cahn 方程就可以得到所有相场变量随时间的演化关系。但为了直观地显示出UO2晶粒的烧结过程，本工作引入一个可视化变量φ[16]：

结合扩散界面的特征可知：在晶粒内部φ=1；在扩散边界处φ<1；在气孔内φ=0。因此，可以通过区分φ在空间各点的取值区分晶粒、扩散边界和气孔相。

常用的求解上述相场方程的数值方法主要有3种，分别为有限差分方法、有限元方法和Fourier Spectral 方法。本工作基于有限差分方法通过编写程序进行模拟，Allen‐Cahn 方程和Cahn‐Hilliard 方程的求解采用了显式Euler 算法，方程中Laplace 项的求解采用了五点差分法。

2 模型的无量纲化

利用相场模型对UO2陶瓷粉末在2000 K 温度下的烧结过程进行了数值模拟，模拟中用到的UO2的物理参数如表1[31,32,34]所示。

为便于计算机进行数值模拟，需对相场方程中的变量和常数进行无量纲化处理。这一过程需要先选取一组参考物理量，然后用模型中变量除以参考量得到一组没有单位的无量纲量。本工作所选取的参考量如下：

式中，ε*为参考能量密度；t*为参考时间；l*为参考空间长度；m为扩散界面在模拟中所占的格点数，本工作取m=3。

将式中参考量代入演化方程(8)和(18)，得到其无量纲形式如下：

将UO2的物理参数代入上述方程中，求得各无量纲参数的具体数值如表2所示。

表1 UO2的物理参数[31,32,34]Table 1 Physical parameters of UO2at 2000 K[31,32,34]Note: Ds—surface diffusivity, Dgb—grain‐boundary diffu‐sivity, Dl—lattice diffusivity, γs—surface energy,γgb—grain‐boundary energy, δ —diffuse interface widthRef.[31][32][34][34][34][34]Physical parameter Ds Dgb Dl γs γgb δ Value 8.8258×10-11 m2·s-1 7.8998×10-13 m2·s-1 7.8998×10-15 m2·s-1 0.6 J·m-2 0.3 J·m-2 6 nm

表2 模拟中的无量纲参数表Table 2 Non‐dimensional parameters used in the present simulationNote: A?, B?, κ?η, κ?ρ—non‐dimensional parameters of free energy function; M?s—non‐dimensional surface mo‐bility;M?gb—non‐dimensional grain‐boundary mobil‐ity; M?l—non‐dimensional lattice mobility; L?—non‐dimensional Allen‐Cahn mobility; Δx, Δy—space scales;Δt—time scaleParameter A? B? Value 67.5 0.675 κ?η κ?ρ 1 1 M?s Value 17 7 6.75 20.25 7541 Parameter M?gb M?l L? Δx = Δy Δt 2×10-5

3 结果与讨论

3.1 双晶粒的烧结过程

利用相场模型，采用双晶粒结构对UO2陶瓷粉末的烧结过程进行模拟。模拟区域差分网格尺寸为256×256，采用周期性边界条件。分别研究晶粒形状、晶粒尺寸、不同扩散机制和晶界能各向异性等4个因素对UO2陶瓷粉末烧结组织演变过程的影响。

文章来源：《烧结球团》 网址: http://www.sjqtzz.cn/qikandaodu/2021/0426/474.html